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Vektoralgebra und Skalare

In der Vektoralgebra unterscheidet man zwischen Vektoren und Skalaren. Ein Skalar hat einen Betrag aber keine Richtung, z.B. ist Temperatur ein Skalar. Ein Vektor hat sowohl einen Betrag als auch eine Richtung, Beispiel ist die Geschwindigkeit. Vektoren werden als Pfeile dargestellt. Vektoren mit gleichen Beträgen werden maßstabsgerecht auch als gleich lange Pfeile dargestellt. Ein Vektor -v wird als Gegenvektor bezeichnet, wenn er in die entgegengesetzte Richtung wie ein gegebener Vektor v zeigt und gleich lang ist. Gegenvektoren werden mit einem -Zeichen gekennzeichtet.

Skalare

Ein Skalar k wird mit einem Vektor v multipliziert, indem man den Vektor v um den Faktor k streckt oder staucht.

Einen Vektor der seinen Ursprung in der Ebene oder im Raum hat, nennt man einen Ortsvektor. Man kann jeden Vektor als Differenz zweier Ortsvektoren darstellen.

Man nennt zwei Vektoren kolleniar, wenn sie parallel zueinander verlaufen.

Man nennt drei Vektoren komplanar, wenn sie sich gemeinsam im zweidimensionalen Bereich befinden. Wenn sie sich im dreidimensionalen Bereich befinden, nennt man sie nicht komplanar.

Zwei Vektoren sind genau dann linar abhängig, wenn sie kolleniar sind.

Drei Vektoren sind genau dann linear abhängig,  wenn sie komplanar sind.

Vier Vektoren sind immer linear abhängig.

Lineare Abhängigkeit bedeutet, dass man durch eine Kombination von mehreren Vektoren in Verbindung mit Skalaren der Form a*v + b*w + ....., wobei v und w Vektoren und a und b Skalare sind, sogenannte nichttriviale Nullsummen bilden kann. Nullsummen entstehen dann, wenn ein Vektorkette geschlossen ist. Die Addition der Vektoren ergäbe dann 0.

Triviale Nullsummen entstehen, wenn alle Skalare den Wert 0 haben. Es entsteht dann die Kombination 0*v + 0*w +.... = 0.

Ist eine Menge (a, b, c, ....) linear abhängiger Vektoren gegeben, so kann  mindestens ein Vektor (nicht jeder beliebige) als Linearkombination der anderen Vektoren ausgedrückt werden.

Eine Menge {a, b, c, ...} von Vektoren ist ein Erzeugendensystem, wenn man jeden Vektor durch eine Linearkombination der Vektoren a, b, c, ... darstellen kann. Hierzu müssen sich im zweidimensionalen Bereich zwei linear unabhängige Vektoren befinden, im dreidimensionelen Bereich drei linear unabhängige Vektoren.

Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, welches linear unabhängig ist, mit denen sich also keine nichttriviale Nullsumme bilden läßt. Somit besteht eine Basis im Raum aus drei linear unabhängigen Vektoren und in der Ebene aus zweien. Die Darstellung eines Vektors x durch eine Basis ist nur durch eine Linearkombination der Basisvektoren möglich.

Als Beispiel stellen wir einenVektor x im zweidimensionalen Raum durch Linearkombination folgendermaßen dar:

x = 3 * a + 2 * b

a und b sind die Basis. 3*a nennt man die erste Komponente, 2*b die zweite Komponente. Die Zahlen 2 und 3 heißen Koordinaten. Die Koordinaten schreibt man üblicherweise übereinander.

Unter dem Betrag eines Vektors versteht man seine Länge. Den Betrag errechnet man, indem man die Quadrate seiner Basiselemente addiert und daraus die Wurzel zieht. Das entspricht der Vorgehensweise nach Pythagoras.

Es werden zwei Vektoren v und w miteinander addiert, indem man die Koordinaten der Vektoren addiert.

Es werden zwei Vektoren v und w voneinander subtrahiert, indem man die Koordinaten der Vektoren voneinander subtrahiert.

Man erhält das skalare Vielfache eines Vektors, indem man den Skalar mit jeder Koordinate des Vektors multipliziert.

Man erhält das Skalarprodukt zweier Vektoren v und w, indem man das Produkt der Beträge der Vektoren v und w mit dem cos des Winkels gamma, der sich aus der Stellung der Vektoren ergibt, multipliziert. Durch die Einbeziehung des Winkels gamma ergibt sich eine Projektion von v auf w.

Man erhält das Skalarprodukt in Koordinatendarstellung zweier Vektoren, indem man gleiche Koordinaten miteinander multipliziert und deren Ergebnisse addiert.

Man erhält den cos des Winkels zweier beliebig verlaufender Vektoren v und w, wenn man wie zuvor dargestellt das Skalarprodukt in Koordinatendarstellung durch das Skalarprodukt dividiert:

cos alpha =  (vx * wx + vy * wy + vz * wz) / (|v| * |w|)