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Matrizenalgebra

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema welches aus Spalten und Zeilen besteht. Eine Matrix besteht aus reellen Zahlen, die man Elemente nennt. An den Elementen kann man erkennen, um welches es sich handelt. Z.B. steht das Element a₃₂ in der 3. Zeile der 2. Spalte. Typ einer Matrix heißt, wieviel Zeilen und Spalten sie hat.

Schreibweisen für eine Matrix vom Typ(3,2):

A = (a_ik) mit 1<=i<=3 und 1<=k<=2 oder

A = (a_ik)_(3,2)

Eine Zeilenmatrix besteht aus nur einer Zeile.

Eine Spaltenmatrix besteht aus nur einer Spalte.

Eine Nullmatrix enthält nur null-Werte.

Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und in allen Elementen übereinstimmen.

Vertauscht man Zeilen und Spalten einer Matrix A, so heißt die entstandene Matrix die “Transponierte der Matrix A”. Man nennt sie A^T_. Ist A vom Typ(m,n) so ist A^T vom Typ(n,m). Die Elemente der Matrix A und der Matrix A^T stehen in folgendem Zusammenhang:

a^T_{ik =} a_ki

(A^T)^T = A

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix vom Typ(m,m).

Eine Diagonalmatrix ist ein Spezialfall der quadratischen Matrix. Außerhalb der Hauptdiagonalen(von oben links nach unten rechts) sind alle Elemente gleich null.

Eine Einheitsmatrix ist ein Spezialfall der Diagonalmatrix. Die Elemte der Hauptdiagonalen sind alle gleich 1.

Ein weiterer Spezialfall ist die untere Dreiecksmatrize. Bei ihr sind alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen gleich null. Bei der oberen Dreiecksmatrize sind dementsprechend alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich null.

Bei der symmetrischen Matrix sind alle Elemente spiegelbildlich angeordnet. Es gilt: a_{ik =} a_ki

Bei der schiefsymmetrischen Matrix sind die Elemente die spiegelbildlich zueinander liegen vom Betrag gleich, haben aber entgegengesetzte Vorzeichen: a_ik = -a_ki Die Hauptdiagonalelemente sind gleich null.

Matrizen können addiert werden, wenn sie vom gleichen Typ sind. Sie werden addiert, indem Elemente mit gleichem Index addiert werden. Für Matrizenaddition gilt das Kommutativ- und das Assoziativgesetz.

Matrizensubtraktion funktioniert entsprechend der Matrizenaddition. Es gilt jedoch weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz.

Ein Skalar alpha(eine Zahl) wird mit einer Matrix multipliziert, indem man jedes Matrixelement mit dem Skalar multipliziert.

Matrizenmultiplikation

Matrizenmultiplikation A * B ist nur möglich, wenn die Spaltenzahl der Matrix A mit der Zeilenzahl der Matrix B übereinstimmt. Ist also eine Matrix A vom Typ(m,n), kann sie nur mit einer Matrix B multipliziert werden, wenn sie vom Typ(n,r) ist. Das Produkt daraus ist abgebildet in der Matrix C. Sie ist vom Typ(m,r).

Das Matrizenprodukt C = A * B wird folgendermaßen gebildet:

Das Element c_ik ist das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem k-ten Spaltenvektors der Matrix B.

Das Element C₁₁ ist somit das Skalarprodukt des 1. Zeilenvektors der Matrix A mit dem 1. Spaltenvektor der Matrix B. Das Element C₁₂ ist das Skalarprodukt des 1. Zeilenvektors der Matrix A mit dem 2. Spaltenvektor der Matrix B usw.

Bei der Multiplikation einer Matrix A vom Typ(3,2) mit einer Matrix B vom Typ(2,2) ergibt sich beispielsweise folgender Wert für das Element c₃₂ der Matrix C:

c₃₂ = (a₃₁ a₃₂) (b₁₂ b₂₂) = a₃₁ b₁₂ + a₃₂ b₂₂

Um Matrizen zu multiplizieren, kann man sehr gut folgendes Schema verwenden: