Mathematisch gesehen ist ein Stellenwertsystem eine 3-Tupel S = (b, Z, delta)

wobei:

b >= 2 ist die Basis, natürliche Zahl

Z = b-elementige Menge von Ziffern

delta : Z ( 0 .... b-1), Abbildung, die jedem Ziffernsymbol eine natürliche Zahl zuordnet.

(delta von Z)

Dualsystem

Zahlenbereich 0 und 1 (Z) und Basis b = 2

2 ⁴

2 ³

2 ²

2 ¹

2 ⁰

2 ^-1

2 ^-2

2 ^-3

2 ^-4

16

8

4

2

1

 1/2

 1/4

 1/8

  1/16

Beispiele:

1

1

0

0

1

delta

16

8

0

0

1

Dezimalwert

25

1

0

0   

1   

1   

1     

delta

2

0

0,0000

0,2500

0,1250

0,0625

Dezimalwert

2,4375

Oktalsystem

Zahlenbereich von 0 bis 7 (Z) und Basis b = 8

8 ⁴

8 ³

8 ²

8 ¹

8 ⁰

8 ^-1

8 ^-2

8 ^-3

8 ^-4

4096

512

64

8

1

 1/8

  1/64

   1/512

1/4096

Beispiele:

1

0

3

5

7

delta

4096

0

192

40

7

Dezimalwert

4335

3

2

4

7

1

4

delta

24

2

0,5000

0,1094

0,0020

0,0010

Dezimalwert

26,6123

Dezimalsystem

Zahlenbereich von 0 bis 9 (Z) und Basis b = 10

10 ⁴

10 ³

10 ²

10 ¹

10 ⁰

10 ^-1

10 ^-2

10 ^-3

10 ^-4

10000

1000

100

10

1

1/10

1/100

1/1000

1/10000

Beispiele:

1

0

3

5

7

delta

10000

0

300

50

7

Dezimalwert

10357

2

6

9

0

4

6

delta

20

6

0,9000

0

0,0040

0,0006

Dezimalwert

26,9046

Hexadezimalsystem

Zahlenbereich von 0 bis F(15, Z) und Basis b = 16

16 ⁴

16 ³

16 ²

16 ¹

16 ⁰

16 ^-1

16 ^-2

16 ^-3

16 ^-4

65536

4096

256

16

1

1/16

1/256

1/4096

1/65536

Beispiele:

6

A

0

8

F

delta

393216

40960

0

128

15

Dezimalwert

434319

D

5

1

9

0

delta

13

0,3125

0,0039

0,0022

0,0000

Dezimalwert

13,3186

Die Darstellung von Gleitkommazahlen wie vorstehend rot gekennzeichnet dient nur zur Demonstration der Rechenweise.

Gleitkommazahlen werden ansonsten  durch Mantisse und Exponent dargestellt:

Mantisse = hinter Komma stehende Logarithmen

Beispiel:

Mantisse

Exponent

2 ^-1

2 ^-2

*

2 ¹

2 ⁰

2 ^-1

0,5

0,25

2

1

0,5

0

0

*

0

0

0

1

0

*

1

0,5

0,25

0

1

*

0,5

0,25

0,125

1

1

*

1,5

0,75

0,375

Rückrechnung

Die Rückrechnung von Dezimalzahlen in das Dualsystem, Oktalsystem etc. erfolgt mit Hilfe des Modulo-Operators und

anschließender ganzzahliger Division.

Beispiel: Umrechnung von dezimal 54 in das Dualsystem

54 mod 2 = 0 * 2 ⁰

0

54 / 2 = 27

27 mod 2 = 1 * 2 ¹

2

27 / 2 = 13

13 mod 2 = 1 * 2 ²

4

13 / 2 = 6

  6 mod 2 = 0 * 2 ³

0

6 / 2 = 3

  3 mod 2 = 1 * 2 ⁴

16

3 / 2 = 1

  1 mod 2 = 1 * 2 ⁵

32

1 / 2 = 0

0 = Abbruchbedingung

54